Integrales Trigonométricas

Integrales Trigonométricas

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.

Caso 1

Integrales de la forma

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Identidad trigonométrica

 cos² x + sen² x =1

Protocolo a seguir

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Caso 2

Integrales de la forma 

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La identidad trigonométrica 

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Protocolo a seguir:

Ejemplo

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Caso 3

Integrales de la forma 

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Identidad trigonométrica

cos² x + sen² x =1

a.- Cuando los dos son impares  se toma al menor para que la integral quede mas sencilla

 

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b.- Cuando los dos son pares

Ejemplo

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Caso 4

Integrales de la forma 

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También funciona para las funciones cosecante,  cotangente.

Identidad trigonométrica

tg² x +1 = sec² x

cTg² x +1 = csc² x

Protocolo a seguir según el caso:

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1.    Si la potencia de la secante es positiva y par, se queda un factor de la secante al cuadrado y se convierte los restantes en tangente. Al igual que en el caso 1 se fuerza un cambio de variable

 

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2.    Si la potencia de la tangente es positiva e impar, se queda un factor secante –tangente (funciona como la derivada)  y convertir el resto en secante.

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1.     


3.-Si no hay factores de la secante y la potencia de tangente es positiva, se convierte     un   factor tangente cuadrado en secante. Se desarrolla y se repite el proceso tantas veces  Como sea necesario 

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4.    Si la integral es de la forma     , con n impar y positivo, se usa la integración por partes.

5.    Si no se aplica ninguno de estos casos, se convierte  en integral seno coseno.

Ejemplo

Casos especiales  

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Sen mx sen nx =½ (cos [(m-n) x] – cos [(m+n)]x])

Sen mx cos nx = ½ (sen [(m-n) x] + sen [(m+n)]x])

cos  mx cos nx =½ (cos [(m-n) x] – cos [(m+n)]x])

Ejercicios

Integrales  Completación de cuadrados o que contienen un trinomio cuadrado

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Integrales de la forma

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Entre otras formas

Este artificio está basado en la completación de cuadrados, es decir, tratar que el denominador se convierta en un binomio al cuadrado más un término independiente. Como se muestra a continuación:

Ejemplos:

1

Aprendé a calcular integrales

La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:

1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
2. Se halla una antiderivada de f, es decir, una función F tal que F' = f.
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración,

   

4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).

Nótese que la integral no es realmente la antiderivada, sino que el teorema fundamental permite emplear las antiderivadas para evaluar las integrales definidas.

A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:

• Integración por cambio de variable
• Integración por partes
• Integración por sustitución trigonométrica
• Integración de fracciones parciales

Incluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es el cálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parseval para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. En algunas ocasiones, se puede evaluar una integral empleando un truco; un ejemplo de este tipo se puede ver en la integral de Gauss.

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución se pueden hacer normalmente con la integración por discos o la integración por capas.

Los resultados específicos que se han encontrado empleando las diferentes técnicas se recogen en la tabla de integrales.